Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=2a_n+2ⁿ，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{40\sqrt{2}-2n}{n}$a_n，存在m∈N*，使得對(duì)?n∈N*，不等式b_n≤b_m恒成立．則m的值為27．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)a_n+1=2a_n+2ⁿ變形，進(jìn)而構(gòu)造首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$、公差為1的等差數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}，利用作差法計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$+1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$、公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$+n-1=$\frac{2n-1}{2}$，即a_n=（2n-1）2^n-2，
∴b_n=$\frac{40\sqrt{2}-2n}{n}$a_n=$\frac{（2n-1）（20\sqrt{2}-n）}{n}$•2^n-1=[（1+40$\sqrt{2}$）-（2n+$\frac{20\sqrt{2}}{n}$）]•2^n-1，
∴b_n+1-b_n={[2（1+40$\sqrt{2}$）-2（2n+2+$\frac{20\sqrt{2}}{n+1}$）]-[（1+40$\sqrt{2}$）-（2n+$\frac{20\sqrt{2}}{n}$）]}•2^n-1
={40$\sqrt{2}$-[2n+3+$\frac{20\sqrt{2}（n-1）}{n（n+1）}$]}•2^n-1，
又∵b₂₇-b₂₆＞0，b₂₈-b₂₇＜0，
∴m=27，
故答案為：27．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，利用作差法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．