Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）
（1）若f（x₀）=2，x₀∈[0，

π

2

]，求x₀的值
（2）在△ABC中，f（A）=2，a=

5

，c=1，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：由函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx），利用倍角公式、兩角和差的正弦公式可得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)+1．
（1）由于f（x₀）=2，可得sin(2x0-

π

4

)=

2

2

．再根據(jù)x₀∈[0，

π

2

]，可得(2x0-

π

4

)∈[-

π

4

，

3π

4

]，即可得出；（2）由f（A）=

2

sin(2x-

π

4

)+1=2．可得sin(2A-

π

4

)=

2

2

，由于A∈（0，π），可得(2A-

π

4

)∈(-

π

4

，

7π

4

)，即可解得A=

π

4

或

π

2

．分類討論：（i）當(dāng)A=

π

4

時(shí)，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
解得b，再利用S△ABC=

1

2

bcsinA即可得出．
（ii）當(dāng)A=

π

2

時(shí)，利用勾股定理和三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=

2

sin(2x-

π

4

)+1．
（1）∵f（x₀）=2，∴

2

sin(2x0-

π

4

)+1=2，化為sin(2x0-

π

4

)=

2

2

．
∵x₀∈[0，

π

2

]，∴(2x0-

π

4

)∈[-

π

4

，

3π

4

]，∴2x0-

π

4

=

π

4

或

3π

4

，解得x₀=

π

4

或

π

2

．
（2）∵f（A）=

2

sin(2x-

π

4

)+1=2．
∴sin(2A-

π

4

)=

2

2

，
∵A∈（0，π），∴(2A-

π

4

)∈(-

π

4

，

7π

4

)，∴2A-

π

4

=

π

4

或

3π

4

，解得A=

π

4

或

π

2

．
（i）當(dāng)A=

π

4

時(shí)，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴5=b²+1-2b×2×

2

2

，化為b2-2

2

b-4=0，
又b＞0，解得b=

2

+

6

．
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×(

2

+

6

)×1×

2

2

=

1+ 3

2

．
（ii）當(dāng)A=

π

2

時(shí)，b²=a²-c²=5-1=4，∴b=2．
∴S_△ABC=

1

2

bc=

1

2

×2×1=1．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、倍角公式、兩角和差的正弦公式、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．