Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=

1

3

x³+cx+3，f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=4ln x-f′（x），求g（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)f（x）=

1

3

x³+cx+3，求出f′（x）=x²+c；然后根據(jù)f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，求出f′（0）=c=-1，進(jìn)而求出函數(shù)y=f（x）的解析式即可；
（Ⅱ）分別求出g（x）、g′（x），然后分兩種情況：①當(dāng)0＜x＜

2

和②當(dāng)x≥

2

時(shí)，討論求出g（x）的極值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

3

x³+cx+3，f′（x）=x²+c，
因?yàn)閒（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，
所以f′（0）=c=-1，
即f（x）=

1

3

x³-x+3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得g（x）=4lnx-x²+1，x∈（0，+∞），
則g′(x)=

4

x

-2x=

4-2x2

x

=-

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

，
①當(dāng)0＜x＜

2

時(shí)，g′（x）＞0，
可得g（x）在（0，

2

）上為增函數(shù)；
②當(dāng)x≥

2

時(shí)，g′（x）≤0，
可得g（x）在（

2

，+∞）上為減函數(shù)；
所以g（x）在x=

2

處取得極大值g（

2

）=2ln2-1．

點(diǎn)評：此題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．