Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，又f（x）在x=0處有極值，
（1）求c的值；
（2）當(dāng)a＞0，b=3a時(shí)，求使{y|y=f（x），-3≤x≤2}⊆[-3，2]成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）在區(qū)間（-6，-4）和（-2，0）上是單調(diào)的，且在這兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在x=0有極值，
∴f'（0）=0
∴c=0
（2）b=3a，且-2是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，得f（-2）=-8a+12a+d=0，即d=-4a
∴f（x）=ax³+3ax²-4a，
f′（x）=3ax²+6ax=3ax（x+2）
由f'（x）=0得x=0或x=-2
當(dāng)a＞0時(shí)

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-4a	↗	0	↘	-4a	↗	16a

所以當(dāng)a＞0時(shí)，若-3≤x≤2，則-4a≤f（x）≤16a
所以 ，即 ，故 a的取值范圍是 ．
（3）f'（x）=3ax²+2bx，
由f'（x）=x（3ax+2b）=0，得x=0或
∵f（x）在區(qū)間（-6，-4）和（-2，0）上單調(diào)且單調(diào)性相反
∴，
故 ．
分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由題意得f'（0）=0即可得到c=0；
（2）將b=3a代入到f'（x）中，化簡(jiǎn)得f'（x）的零點(diǎn)為x=0或-2，根據(jù)當(dāng)a＞0，可以得出f（x）在區(qū)間[-3，2]上的取值范圍，最后根據(jù)不等式-3≤f（x）≤2恒成立，化簡(jiǎn)即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）由（1）得，f'（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），f′（x）的零點(diǎn)為x=0或 ，再根據(jù)f（x）在區(qū)間（-6，-4）和（-2，0）上的單調(diào)且單調(diào)性相反，列出不等式組，化簡(jiǎn)得 ，故 ；
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，考查方程根的討論，屬于中檔題．其中利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是解題的關(guān)鍵．