Question

6．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，它的一個(gè)焦點(diǎn)到短軸頂點(diǎn)的距離為2，動(dòng)直線l：y=kx+m交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA、OB的斜率都存在，且${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：2m²=4k²+3；
（3）求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a=2，a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$．可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，可得3x₁•x₂+4（kx₁+m）（kx₂+m）=0，化為：（3+4k²）x₁•x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可證明．
（3）由（2）可得：△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，可得k∈R．|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{6}$$\sqrt{\frac{1}{4{k}^{2}+3}+1}$，即可得出．

解答 （1）解：由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a=2，a²=b²+c²，解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△＞0，∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，即3x₁•x₂+4y₁y₂=0，
∴3x₁•x₂+4（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
化為：（3+4k²）x₁•x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
∴（3+4k²）$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+4km•$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+4m²=0，
化為：2m²=4k²+3．
（3）解：由（2）可得：△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
化為：4k²+3＞m²，∴4k²+3$＞\frac{4{k}^{2}+3}{2}$，∴k∈R．
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（4{m}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{32{k}^{2}（4{k}^{2}+3）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（8{k}^{2}-6）}{3+4{k}^{2}}]}$
=$2\sqrt{6}$$•\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$$\sqrt{\frac{1}{4{k}^{2}+3}+1}$∈$（\sqrt{6}，2\sqrt{2}]$．
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，|AB|的最大值2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．