Question

10．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是棱CC₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面BED₁交棱AA₁于點(diǎn)F．則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
①存在點(diǎn)E，使得A₁C₁∥平面BED₁F；②存在點(diǎn)E，使得B₁D⊥平面BED₁F；
③對(duì)于任意的點(diǎn)E，平面A₁C₁D⊥平面BED₁F；④對(duì)于任意的點(diǎn)E，四棱錐B₁-BED₁F的體積均不變．

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)線面平行和線面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①當(dāng)E為棱CC₁上的一中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)F也為棱AAC₁上的一個(gè)中點(diǎn)，此時(shí)A₁C₁∥EF；滿足A₁C₁∥平面BED₁F成立，∴①正確．

②∵B₁D⊆平面BED₁F，∴不可能存在點(diǎn)E，使得B₁D⊥平面BED₁F，∴②錯(cuò)誤．
③連結(jié)D₁B，則D₁B⊥平面A₁C₁D，而B₁D⊆平面BED₁F，∴平面A₁C₁D⊥平面BED₁F，成立，∴③正確．

④四棱錐B₁-BED₁F的體積等于VD1-BB1F+VD1-B1BF，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
∵無論E，F(xiàn)在何點(diǎn)，三角形BB₁E的面積為$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$為定值，三棱錐D₁-BB₁E的高D₁C₁=1，保持不變．
三角形BB₁F的面積為$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$為定值，三棱錐D₁-BB₁F的高為D₁A₁=1，保持不變．
∴三棱錐D₁-BB₁E和三棱錐D₁-BB₁F體積為定值，
即四棱錐B₁-BED₁F的體積等于VD1-BB1F+VD1-B1BF為定值，∴④正確．
故正確的命題有：①③④共3個(gè)，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的位置關(guān)系的判斷以及利用分割法求空間幾何體的體積的方法，綜合性較強(qiáng)，難度較大