Question

6．已知函數(shù)f（x）=2^x-1，集合A={x|1≤x≤2}．
（1）記函數(shù)f（x）在A上的值域?yàn)镃，若函數(shù)G（x）=x²+2x+t，x∈[0，1]的值域?yàn)锽，且C∪B=B，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）若?x∈A，[f（log₂x）]²+2af（log₂x）+a＞-5恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出集合B，C，由C⊆B列出不等式組求出t的范圍；
（2）根據(jù)x的范圍求出t=f（log₂x）的范圍，得關(guān)于t的不等式t²+2at+a＞-5恒成立，
令F（t）=t²+2at+a，對(duì)a進(jìn)行討論得出F（t）的單調(diào)性，求出F_min（t），令F_min（t）＞-5即可得出a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2^x-1，集合A={x|1≤x≤2}，
當(dāng)1≤x≤2，2≤2^x≤4，即1≤2^x-1≤3，
∴函數(shù)f（x）在A上的值域C=[1，3]；
又函數(shù)G（x）=x²+2x+t，x∈[0，1]，
當(dāng)x=0時(shí)g（x）_min=t，x=1時(shí)，g（x）_max=3+t；
∴G（x）在x∈[0，1]上的值域?yàn)锽=[t，3+t]；
又C∪B=B，∴C⊆B，
即$\left\{\begin{array}{l}{t≤1}\\{3+t≥3}\end{array}\right.$，
解得0≤t≤1，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是[0，1]；
（2）由（1）得A=[1，2]，∴當(dāng)x∈A時(shí)，0≤log₂x≤1．∴0≤f（log₂x）≤1；
設(shè)f（log₂x）=t，則t²+2at+a＞-5在[0，1]上恒成立；
設(shè)F（t）=t²+2at+a=（t+a）²-a²+a，則F_min（t）＞-5；
①若-a≤0即a≥0，則F（t）在[0，1]上為增函數(shù)，∴F_min（t）=F（0）=a，
∴a＞-5，∴a≥0；
②若-a≥1，即a≤-1，則F（t）在[0，1]上為減函數(shù)，∴F_min（t）=F（1）=1+3a，
∴1+3a＞-5，解得-2＜a≤-1；
③若0＜-a＜1，即-1＜a＜0，則F（t）在[0，-a]上為減函數(shù)，在[-a，1]上為增函數(shù)；
∴F_min（t）=F（-a）=a-a²，
∴a-a²＞-5，解得-1＜a＜0；
綜上，a的取值范圍是[-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域，集合的關(guān)系以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是綜合性題目．