Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C的方程為（x-3）²+（y+4）²=4，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，$A（2，π），B（2，\frac{π}{2}）$．
（1）寫出圓C的極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程；
（2）若F在圓C上運(yùn)動(dòng)，求△ABF的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）引入?yún)��?shù)，可得圓C的參數(shù)方程，從而可得極坐標(biāo)方程；
（2）若F在圓C上運(yùn)動(dòng)，利用參數(shù)，表示面積，即可求△ABF的面積的最大值．

解答 解：（1）∵圓C的方程為（x-3）²+（y+4）²=4，∴參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）；
將圓方程展開可得x²+y²-6x+8y+21=0，故極坐標(biāo)方程為ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0；
（2）A（-2，0），B（0，2），AB的方程為x-y+2=0．
F（3+2cosθ，-4+2sinθ）到直線AB的距離d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+9|}{\sqrt{2}}$，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=|2cosθ-2sinθ+9|=|2$\sqrt{2}$sin（45°-θ）+9|，
∴△ABF的面積的最大值為2$\sqrt{2}$+9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．