Question

3．若f（x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，且$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． f（x）＜0
• B． 當且僅當x＜1時，f（x）＜0
• C． f（x）＞0
• D． 當且僅當x≥1時，f（x）＞0

Answer 1

分析 由題意可先根據(jù)f（x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)得得出其導數(shù)值恒為負，再將不等式$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1兩邊同乘以f′（x）得，f（x）+xf′（x）＞f′（x），將其整理為f（x）+xf′（x）-f′（x）＞0，觀察知，g（x）=xf（x）-f（x）導數(shù)即f（x）+xf′（x）-f′（x），從而得出g（x）的單調(diào)性，判斷出它的函數(shù)值的符號，從而得出f（x）的符號，即可得出正確選項．

解答 解：由題意，f（x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，可得f′（x）＜0
將不等式$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1兩邊同乘以f′（x）得，f（x）+xf′（x）＞f′（x）
即f（x）+xf′（x）-f′（x）＞0
可令g（x）=xf（x）-f（x）=（x-1）f（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）-f′（x）＞0
∴g（x）是一個增函數(shù)，又g（1）=1×f（1）-f（1）=0，
∴當x＞1時，g（x）＞0，x-1＞0
∴x＞1時，f（x）＞0，又f（x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（x）是定義在R上恒為正，即f（x）＞0
故選C．

點評 本題考查導數(shù)的綜合運用，導數(shù)與單調(diào)性的關系，導數(shù)的運算，以及數(shù)的乘積的符號的判斷規(guī)則，本題要構造一個新函數(shù)，以新函數(shù)的性質(zhì)判定f（x）的性質(zhì)，本題綜合性較強，構造新函數(shù)是個難點．