Question

甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為

1

4

，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為

1

12

，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為

2

9

．
（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）若讓每臺機(jī)床各自加工2個零件（共計6個零件），求恰好有3個零件是一等品的概率．

Answer 1

分析：（I）利用甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為

1

4

，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為

1

12

，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為

2

9

，建立方程組，求出甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率，即可求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）分類討論求概率，即可求恰好有3個零件是一等品的概率．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)“甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品”分別為A、B、C事件，則A、B、C相互獨(dú)立，則

P(A• . B )= 1 4 P(B• . C )= 1 12 P(A•C)= 2 9

⇒

P(A)•[1-P(B)]= 1 4 …(1) P(B)[1-P(C)]= 1 12 …(2) P(A)•P(C)= 2 9 …(3)

…..（1分）

由(1)(3)得P(B)=1- 9 8 P(C)， 代入(2)得27[P(C)]2-51P(C)+22=0，解得P(C)= 2 3 ，或P(C)= 11 9 (舍去)； ∴P(A)= 1 3 ，P(B)= 1 4

即甲乙丙三臺機(jī)床各自加工零件是一等品的概率分別為

1

3

，

1

4

，

2

3

．…（3分）
（Ⅱ）（1）設(shè)甲有0個一等品的概率為P₁，則P1=(

2

3

)2[(

1

4

)2•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(

2

3

)2]=

7

81

…（2分）
（2）設(shè)甲有1個一等品的概率為P₂，則P2=

C

1 2

1

3

•

2

3

[(

1

4

)2•(

1

3

)2+(

3

4

)2•(

2

3

)2+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

]=

61

324

…（2分）
（3）設(shè)甲有2個一等品的概率為P₃，則P3=(

1

3

)2•[

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(

1

3

)2+(

3

4

)2•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

]=

21

648

…（2分）
所以，所求事件“恰好有三個零件是一等品”的概率為P=P1+P2+P3=

7

81

+

61

324

+

21

648

=

199

648

…（1分）

點(diǎn)評：本題考查概率的計算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．