Question

5．已知直線經(jīng)過點P（-1，2），傾斜角α=$\frac{3π}{4}$．
（1）寫出直線的參數(shù)方程；
（2）設(shè)l與拋物線y=x²相交于A、B兩點，求線段AB的長和點P到A、B兩點的距離之積；
（3）求線段AB中點的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的參數(shù)方程進行求解即可．
（2）求出直線的普通方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程利用韋達定理進行轉(zhuǎn)化求解即可．
（3）利用中點坐標公式進行求解即可．

解答 解：（1）∵直線經(jīng)過點P（-1，2），傾斜角α=$\frac{3π}{4}$．
∴直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos\frac{3π}{4}=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}&{\;}\\{y=2+tsin\frac{3π}{4}=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}&{\;}\end{array}\right.$，t為參數(shù)．
（2）直線的普通方程為x+y=1，即y=1-x代入y=x²得x²+x-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，
則|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
|PA||PB|=$\sqrt{（{x}_{1}+1）^{2}+（{y}_{1}-2）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}+1）^{2}+（{y}_{2}-2）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+1）^{2}+（{x}_{1}+1）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}+1）^{2}+（{x}_{2}+1）^{2}}$
=$\sqrt{2（{x}_{1}+1）^{2}}$$•\sqrt{2（{x}_{2}+1）^{2}}$=2|（x₁+1）（x₂+1）|=2|x₁x₂+（x₁+x₂）+1|=2|-1-1+1|=2，
（3）由（2）知x₁+x₂=-1，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$-\frac{1}{2}$，即AB的中點橫坐標為x₀=$-\frac{1}{2}$，縱坐標y₀=1-x₀=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
即線段AB中點的坐標為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查直線參數(shù)方程的應用以及直線和拋物線位置關(guān)系的應用，利用轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合韋達定理進行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．