Question

15．如圖，已知AC是以AB為直徑的⊙O的一條弦，點D是劣弧$\widehat{AC}$上的一點，過點D作DH⊥AB于H，交AC于E，延長線交⊙O于F．
（Ⅰ）求證：AD²=AE•AC；
（Ⅱ）延長ED到P，使PE=PC，求證：PE²=PD•PF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由射影定理可得AD²=AH•AB．利用△AHE∽△ACB，得出$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$，即可證明結論；
（Ⅱ）證明∠PCE+∠EAH=90°．利用OA=OC，得出∠EAH=∠ACO，可得∠PCE+∠ACO=90°，即可證明結論．

解答 證明：（Ⅰ）由射影定理可得AD²=AH•AB．
∵△AHE∽△ACB，∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$，
∴AH•AB=AE•AC，
∴AD²=AE•AC；
（Ⅱ）連接OC，則
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC．
∵∠AEH=∠PEC，
∴∠PCE=∠AEH．
∴∠EAH+∠AEH=90°，
∴∠PCE+∠EAH=90°．
∵OA=OC，
∴∠EAH=∠ACO，
∴∠PCE+∠ACO=90°，
∴OC⊥PC．

點評 本題考查射影定理的運用，考查三角形相似的判定與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．