已知某幾何體的直觀圖(圖1)與它的三視圖(圖2),其中俯視圖為正三角形,其它兩個(gè)視圖是矩形.
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(Ⅰ)求出該幾何體的體積;
(Ⅱ)D是棱A1C1上的一點(diǎn),若使直線BC1∥平面AB1D,試確定點(diǎn)D的位置,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的條件下,求證:平面AB1D⊥平面AA1D.
分析:(Ⅰ)把原圖還原得該幾何體為正三棱柱,底面是高為
3
的正三角形,三棱柱的高h(yuǎn)=3,代入正三棱柱的體積計(jì)算公式即可.
(Ⅱ)因?yàn)槔釧1C1上最特殊的點(diǎn)就是中點(diǎn),再借助于線線平行來(lái)推線面平行的推法,找和直線BC1平行的中位線即可.
(Ⅲ)在平面AA1D中找兩條相交直線和平面AB1D中的直線B1D垂直即可.
解答:解:由三視圖可知該幾何體為正三棱柱,底面是高為
3
的正三角形,三棱柱的高h(yuǎn)=3,(2分)
(Ⅰ)底面是高為
3
的正三角形,易知底面邊長(zhǎng)為2,
所以底面面積s=
1
2
×2×
3
=
3
,
所求體積V=sh=3
3
.(4分)
精英家教網(wǎng)(Ⅱ)連接A1B,且A1B∩AB1=O,
∵正三棱柱側(cè)面是矩形,
∴點(diǎn)O是棱A1B的中點(diǎn),(5分)
若BC1∥平面AB1D,

連接DO,BC1?平面A1BC1,平面AB1D∩平面A1BC1=DO,
∴BC1∥DO,
∴DO是△A1BC1的中位線,
∴D為A1C1的中點(diǎn).
即D為A1C1的中點(diǎn)時(shí),BC1∥平面AB1D.(8分)
(Ⅲ)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,三角形A1B1C1為正三角形,
∴B1D⊥A1C1.,
又由三棱柱性質(zhì)知平面A1B1C1⊥平面ACC1A1,
且平面A1B1C1∩平面ACC1A1=A1C1,B1D?平面A1B1C1,
∴B1D⊥平面AA1D,(10分)又B1D?平面AB1D,
∴平面AB1D⊥平面AA1D(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì).在證明面面垂直時(shí),其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直.
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已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示,其正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.
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(Ⅰ)若M為CB中點(diǎn),證明:MA∥平面CNB1;
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(3)設(shè)M為AB中點(diǎn),在BC邊上找一點(diǎn)P,使MP∥平面CNB1并求
BPPC
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(Ⅰ)求出該幾何體的體積;
(Ⅱ)求證:直線BC1∥平面AB1D;
(Ⅲ)求證:直線B1D⊥平面AA1D.

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已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示,其正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形
(1)求證:BC∥平面C1B1N;
(2)求證:BN⊥平面C1B1N;
(3)設(shè)M為AB中點(diǎn),在BC邊上找一點(diǎn)P,使MP∥平面CNB1,并求
BPPC
的值.

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(Ⅰ)證明:BN⊥平面C1NB1;
(Ⅱ)求平面CNB1與平面C1NB1所成角的余弦值;

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