Question

19．如圖所示，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)為1，DD₁=2，E為DD₁的中點(diǎn)，M為AC₁的中點(diǎn)，連結(jié)C₁E，CE，AC，AE，ME，CM．
（1）求證：ME⊥平面ACC₁；
（2）求點(diǎn)C₁到平面AEC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明△C₁ME≌△CME，得出ME⊥CM，利用EM⊥C₁M，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明ME⊥平面ACC₁；
（2）利用等體積，即可求點(diǎn)C₁到平面AEC的距離．

解答 （1）證明：∵EC₁=EC=EA=$\sqrt{2}$，C₁M=AM
∴EM⊥AC₁，
∵C₁M=CM，EM=EM，EC₁=EC，
∴△C₁ME≌△CME，
∴∠C₁ME=∠CME=90°，
∴ME⊥CM，
∵EM⊥C₁M
∴ME⊥平面ACC₁；
（2）解：∵AE=CE=AC=$\sqrt{2}$，
∴△ACE是正三角形，
∴S_△ACE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C₁E=CE=$\sqrt{2}$，CC₁=2，
∴∠C₁EC=90°，
∴${S}_{△{C}_{1}EC}$=1，
設(shè)點(diǎn)C₁到平面AEC的距離為h．
∵AD⊥平面C₁EC，
∴$\frac{1}{3}•1•1=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}•h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、線線垂直，考查錐體體積的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．