Question

12．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦點(diǎn)與拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)相同，記為F，設(shè)點(diǎn)M是兩曲線在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且|MF|=$\frac{5}{3}$，則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)是$\frac{2}{3}$，a+b=2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線x=-1．設(shè)M（x₀，y₀），由|MF|=$\frac{5}{3}$，利用拋物線的定義，解得x₀．由于橢圓C₁與拋物線C₂的交點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，可得y₀．可得M坐標(biāo)，代入橢圓方程，又c=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出a，b，進(jìn)而得到a+b的值．

解答 解：拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線x=-1．
設(shè)M（x₀，y₀），由|MF|=$\frac{5}{3}$，
∴x₀+1=$\frac{5}{3}$，解得x₀=$\frac{2}{3}$．
∵橢圓C₁與拋物線C₂的交點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，
∴y₀=$\sqrt{4×\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．
代入橢圓方程可得$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{3^{2}}$=1，又c=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有a+b=2+$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$，2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，運(yùn)用拋物線的定義和橢圓方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．