Question

8．（1）已知sinx-cosx=$\frac{1}{3}$，求sin⁴x+cos⁴x的值；
（2）已知sinx+cosx=-$\frac{7}{13}$（0＜x＜π），求cosx-2sinx的值．

Answer 1

分析 （1）將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間基本關系求出sinxcosx的值，原式利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關系化簡，將sinxcosx的值代入計算即可求出值；
（2）由已知等式右邊的式子小于0，根據x的范圍得到sinx大于0，cosx小于0，把已知等式兩邊平方求出2sinxcosx的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系及完全平方公式求出sinx-cosx的值，與已知等式聯(lián)立求出sinx與cosx的值即可求cosx-2sinx的值．

解答 解：（1）將sinx-cosx=$\frac{1}{3}$，兩邊平方得：（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{1}{9}$，
∴sinxcosx=$\frac{4}{9}$，
則sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-2sin²xcos²x=$\frac{49}{81}$；
（2）∵sinx+cosx=-$\frac{7}{13}$（0＜x＜π），
∴cosx＜0，sinx＞0，即sinx-cosx＞0，
把sinx+cosx=-$\frac{7}{13}$①，兩邊平方得：1+2sinxcosx=$\frac{49}{169}$，即2sinxcosx=-$\frac{120}{169}$，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{289}{169}$，即sinx-cosx=$\frac{17}{13}$②，
聯(lián)立①②，解得：sinx=$\frac{5}{13}$，cosx=-$\frac{12}{13}$，
∴cosx-2sinx=-$\frac{22}{13}$．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．