Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接借助于降冪公式和二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可；
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（

π

3

）=2sin（2×

π

3

+

π

6

）+1=2sin

5π

6

+1=2×

1

2

+1=2；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴當(dāng)2x+

π

6

=-

π

6

時(shí)，f（x）的最小值為0；
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，時(shí)f（x）的最大值為3；
∴f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的值域?yàn)閇0，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了二倍角公式的靈活運(yùn)用以及三角函數(shù)的單調(diào)性等，屬于基礎(chǔ)題．