Question

11．已知雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為$\frac{21}{10}$，則雙曲線的方程是（　�。�

• A． $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$
• B． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1$
• C． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），可得c=3即a²+b²=9，求得橢圓的離心率，可得雙曲線的離心率，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的焦點(diǎn)為（±3，0），
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
可得c=3即a²+b²=9，
由橢圓的離心率為$\frac{3}{5}$，
可得雙曲線的離心率為$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$，
又c=3，可得a=2，b=$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．