Question

6．設(shè)a＞0，b＞0，若$\sqrt{2}$是2^a與2^b的一個(gè)等比中項(xiàng)，則ab的最大值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 $\sqrt{2}$是2^a與2^b的一個(gè)等比中項(xiàng)，可得a+b=1．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{2}$是2^a與2^b的一個(gè)等比中項(xiàng)，
∴2^a•2^b=（$\sqrt{2}$）²=2，
∴a+b=1．
又a＞0，b＞0，
∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴ab的最大值為$\frac{1}{4}$．
故答案是：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．