Question

14．已知函數(shù)f（x）=msinx+ncosx，且$f（\frac{π}{4}）$是它的最大值，（其中m，n為常數(shù)且mn≠0），給出下列命題：
①$f（x+\frac{π}{4}）$為偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點$（\frac{7π}{4}，0）$對稱；
③$f（-\frac{3π}{4}）$是函數(shù)f（x）的最小值；
④記函數(shù)f（x）的圖象在y右側(cè)與直線$y=\frac{m}{2}$的交點按橫坐標從小到大依次記為P₁，P₂，P₃，P₄，…，則|P₂P₄|=π；
⑤$\frac{n}{m}=1$．
其中真命題的有幾個？（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x），根據(jù)f（$\frac{π}{4}$）是它的最大值得出m、n之間的關(guān)系；
判斷f（x+$\frac{π}{4}$）是偶函數(shù)，得出①正確；
判斷x=$\frac{7π}{4}$時，f（x）=0，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{7π}{4}$，0）對稱，②正確；
計算f（-$\frac{3π}{4}$）的值，是函數(shù)f（x）的最小值，③正確；
由函數(shù)f（x）的圖象得出|P₂P₄|等于-個周期2π，得出④錯誤；
由tanφ=$\frac{n}{m}$=1，可得⑤正確．

解答 解：函數(shù)f（x）=msinx+ncosx=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$ sin（x+φ），且f（$\frac{π}{4}$）是它的最大值，
∴$\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，∴tanφ=$\frac{n}{m}$=1．
∴f（x）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$ sin（x+2kπ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$ sin（x+$\frac{π}{4}$）；
對于①，由于f（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$ sin（x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$ ）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$cosx，是偶函數(shù)，故①正確；
對于②，由于當x=$\frac{7π}{4}$時，f（x）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{7π}{4}$）=0，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{7π}{4}$0）對稱，故②正確；
對于③，由于f（-$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$ sin（-$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{4}$ ）=-$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$，是 函數(shù)f（x）的最小值，故 ③正確；
對于④，函數(shù)f（x）的圖象即把函數(shù)y=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$sinx的圖象向左平移$\frac{π}{4}$ 個單位得到的，
故|P₂P₄|等于-個周期2π，故④不正確；
對于⑤，由tanφ=$\frac{n}{m}$=1，可得⑤正確；
綜上，以上正確命題的序號為①②③⑤．
 故答案為：①②③⑤．

點評 本題考查了兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的最值，對稱性，奇偶性，函數(shù)圖象的變換問題，是綜合性題目．