9.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足4Sn=an+12-4n-4,n∈N*,且a2,a4,a8構(gòu)成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=an+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

分析 (1)由4Sn=an+12-4n-4,n∈N*,n≥2時,4Sn-1=${a}_{n}^{2}$-4(n-1)-4,可得:${a}_{n+1}^{2}$=$({a}_{n}+2)^{2}$,由an>0,可得an+1=an+2,利用等差數(shù)列的通項公式可得an=a1+2(n-1).由a2,a4,a8構(gòu)成等比數(shù)列,可得${a}_{4}^{2}$=a2a8,代入可得a1
(2)bn=an+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$=2n+$\frac{1}{{4}^{n}}$,再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(1)∵4Sn=an+12-4n-4,n∈N*,
n≥2時,4Sn-1=${a}_{n}^{2}$-4(n-1)-4,可得:4an=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$-4,化為:${a}_{n+1}^{2}$=$({a}_{n}+2)^{2}$,
∵an>0,∴an+1=an+2,∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為2.
∴an=a1+2(n-1).
∵a2,a4,a8構(gòu)成等比數(shù)列,∴${a}_{4}^{2}$=a2a8,
即$({a}_{1}+6)^{2}$=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.
∴an=2+2(n-1)=2n.
(2)bn=an+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$=2n+$\frac{1}{{4}^{n}}$,
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=$2×\frac{n(n+1)}{2}$+$\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{4}^{n}})}{1-\frac{1}{4}}$
=n2+n+$\frac{1}{3}$$(1-\frac{1}{{4}^{n}})$.

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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①函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x圖象的對稱中心是($\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$,0)k∈Z;
②在△ABC中,“A>B”是“cos2A<cos2B”的充分不必要條件;
③在△ABC中,“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的必要不充分條件;
④若將函數(shù)f(x)=sin(2x-$\frac{π}{3}$)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位后變?yōu)榕己瘮?shù),則φ的最小值是$\frac{π}{12}$.
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