Question

方程x²+

2

x-1=0的解可視為函數(shù)y=x+

2

的圖象與函數(shù)y=

1

x

的圖象交點的橫坐標．若x⁴+ax-9=0的各個實根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所對應(yīng)的點(xi，

9

xi

)（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍是

（-∞，-24）∪（24，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，x⁴+ax-9=0的各個實根可看做是函數(shù)y=x³+a的圖象與函數(shù)y=

9

x

的圖象的交點的橫坐標，由于交點要在直線y=x的同側(cè)，可先計算函數(shù)y=

9

x

的圖象與y=x的交點為A（3，3），B（-3，-3），再將函數(shù)y=x³縱向平移|a|，數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)只需函數(shù)y=x³+a的圖象與y=x的交點分布在A的外側(cè)或B的外側(cè)，故計算函數(shù)y=x³+a的圖象過點A或B時a的值即可的a的范圍

解答：解：如圖x⁴+ax-9=0的各個實根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）
可看做是函數(shù)y=x³+a的圖象與函數(shù)y=

9

x

的圖象的交點C，D的橫坐標
∵函數(shù)y=

9

x

的圖象與y=x的交點為A（3，3），B（-3，-3），
函數(shù)y=x³+a的圖象可看做是將函數(shù)y=x³縱向平移|a|的結(jié)果，其圖象為關(guān)于（0，a）對稱的增函數(shù)
當(dāng)函數(shù)y=x³+a的圖象過點A（3，3）時，a=-24
當(dāng)函數(shù)y=x³+a的圖象過點B（-3，-3）時，a=24
∴要使函數(shù)y=x³+a的圖象與函數(shù)y=

9

x

的圖象的交點C、D均在直線y=x的同側(cè)
只需使函數(shù)y=x³+a的圖象與y=x的交點橫坐標大于3或小于-3
∴數(shù)形結(jié)合可得a＜-24或a＞24
故答案為（-∞，-24）∪（24，+∞）

點評：本題考查了數(shù)形結(jié)合解決根的存在性及根的個數(shù)問題的方法，認真分析“動”函數(shù)與“定”函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵