Question

19．設(shè)n是一個正整數(shù)，定義n個實數(shù)a₁，a₂，…，a_n的算術(shù)平均值為$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$．設(shè)集合 M={1，2，3，…，2015}，對 M的任一非空子集 Z，令α_z表示 Z中最大數(shù)與最小數(shù)之和，那么所有這樣的α_z的算術(shù)平均值為2016．

Answer 1

分析 分別討論1，2，…，2015為最小值和最大值的集合的個數(shù)，再運用等比數(shù)列的求和公式求和，最后由集合的非空子集的個數(shù)和均值的定義，計算即可得到所求值．

解答 解：以1為最小值的集合有2²⁰¹⁴個，以2為最小值的集合有2²⁰¹³個，
…，以2015為最小值的有2⁰個，
則所有M的非空子集的最小值的和為1×2²⁰¹⁴+2×2²⁰¹³+…+2015×2⁰；
同理，所有M的非空子集的最大值的和為2015×2²⁰¹⁴+2014×2²⁰¹³+…+1×2⁰．
故所有這樣的α_z的和為2016×（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+…+2⁰）=2016×$\frac{1-{2}^{2015}}{1-2}$=2016×（2²⁰¹⁵-1）．
則所有這樣的α_z的算術(shù)平均值為$\frac{2016×（{2}^{2015}-1）}{{2}^{2015}-1}$=2016．
故答案為：2016．

點評 本題考查n個數(shù)的均值的求法，考查集合的子集個數(shù)，以及運算能力和推理能力，屬于中檔題．