Question

命題p：關于x的不等式ax²-ax+1＞0對一切x∈R恒成立；命題q：?x∈[0，1]，都有2^x-4^x+a＞0．
若p∨q為真，而p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題p：關于x的不等式ax²-ax+1＞0對一切x∈R恒成立，對a分類討論：當a=0時，直接驗證即可；當a≠0時，則

a＞0 △＜0

，解出即可．命題q：?x∈[0，1]，都有2^x-4^x+a＞0，則x∈[0，1]，a＞（4^x-2^x）_max．利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調性即可得出．由p∨q為真，而p∧q為假，可得p與q必然一真一假．即可得出．

解答： 解：命題p：關于x的不等式ax²-ax+1＞0對一切x∈R恒成立，
當a=0時，化為1＞0恒成立，因此a=0滿足條件；當a≠0時，則

a＞0 △＜0

，解得0＜a＜4，綜上可得a的取值范圍是[0，4）；
命題q：?x∈[0，1]，都有2^x-4^x+a＞0，則x∈[0，1]，a＞（4^x-2^x）_max．
令f（x）=4^x-2^x=(2x-

1

2

)2-

1

4

，x∈[0，1]，
∴當x=1時，f（x）取得最大值，f（1）=2，∴a＞2．
∵p∨q為真，而p∧q為假，∴p與q必然一真一假．
當p真q假時，則

0≤a＜4 a＞2

，解得2＜a＜4；
當q真p假時，則

a＜0或a≥4 a≤2

，解得a＜0．
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是a＜0或2＜a＜4．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法、指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調性、復合命題真假的判定方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．