Question

設(shè)拋物線y²=4x的焦點為F，過點M（-1，0）的直線在第一象限交拋物線于A，B，且滿足

AF

•

BF

=0，則直線的斜率為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可得直線AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0，代入拋物線y²=4x化簡求得x₁+x₂ 和x₁•x₂，進而得到y(tǒng)₁+y₂和y₁•y₂，由

AF

•

BF

=0，解方程求得k的值．

解答： 解：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），直線AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0．
代入拋物線y²=4x化簡可得 k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

-(2k2-4)

k2

，x₁•x₂=1．
∴y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=

-(2k2-4)

k2

×k+2k=

k

4

，
y₁•y₂=k²（x₁+x₂+x₁•x₂+1）=4．
又

AF

•

BF

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂=8-

4

k2

=0，
∴k=

2

2

，
故答案為：

2

2

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，得到8-

4

k2

=0，是解題的難點和關(guān)鍵．