Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=0.5x²-bx，（b為常數(shù)）．
（1）函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與函數(shù)g（x）的圖象相切，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在定義域上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線的方程，聯(lián)立二次函數(shù)，由判別式為0，解方程即可得到b的值；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，可得h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得b的不等式，即可得到b的范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=lnx，所以$f'（x）=\frac{1}{x}$，因此f′（1）=1，
所以函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x^2}-bx}\end{array}$得x²-2（b+1）x+2=0．
由△=4（b+1）²-8=0，得$b=-1±\sqrt{2}$．
（2）因?yàn)閔（x）=f（x）+g（x）=lnx+0.5x²-bx（x＞0），
所以$h'（x）=\frac{1}{x}+x-b=\frac{{{x^2}-bx+1}}{x}$，
若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，則
可知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，
因?yàn)閤＞0，設(shè)u（x）=x²-bx+1，因?yàn)閡（0）=1＞0，
則只要$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}＞0}\\{{b^2}-4＞0}\end{array}$解得b＞2，
所以b的取值范圍是（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．