Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_n}={2^n}$，則數(shù)列{a_n•b_n}滿足對(duì)任意的n∈N⁺，都有b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=${2^n}-\frac{n}{2}-1$，則數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{2}$．

Answer 1

分析 對(duì)任意的n∈N⁺，都有b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=${2^n}-\frac{n}{2}-1$，求得n=1的情況，當(dāng)n≥2時(shí)，將n換為n-1，相減求得b_n=$\frac{1}{4}$n，可得a_n•b_n=$\frac{1}{4}$n•2ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足${a_n}={2^n}$，
由b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-$\frac{1}{2}$n-1，①
令n=1，則b₁a₁=2-$\frac{1}{2}$-1，解得b₁=$\frac{1}{4}$．
∵b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-$\frac{1}{2}$n-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-2a₂+b_n-1a₁=2^n-1-$\frac{1}{2}$（n-1）-1，
將上式兩邊同乘公比2得，b₁a_n+b₂a_n-1+…b_n-1a₂=2ⁿ-n-1．②
①-②可得：b_na₁=$\frac{1}{2}$n，（n≥2），
由a₁=2，可得b_n=$\frac{1}{4}$n，對(duì)n=1也成立，
則a_n•b_n=$\frac{1}{4}$n•2ⁿ，
T_n=$\frac{1}{4}$（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ），
可得2T_n=$\frac{1}{4}$（1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹），
兩式相減可得-T_n=$\frac{1}{4}$（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹），
化簡(jiǎn)可得T_n=$\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式的運(yùn)用和數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查等比數(shù)列的求和公式，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．