Question

19．已知直線(xiàn)l₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），直線(xiàn)l₂過(guò)點(diǎn)（5，0），且l₁∥l₂．
（1）若l₁與l₂距離為5，求兩直線(xiàn)的方程；
（2）若l₁與l₂之間的距離最大，求最大距離，并求此時(shí)兩直線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析 （1）分類(lèi)討論：若l₁、l₂的斜率不存在，通過(guò)驗(yàn)證即可得出；若l₁，l₂的斜率都存在時(shí)，利用兩條平行線(xiàn)的斜率之間的關(guān)系得出兩條直線(xiàn)的方程，進(jìn)而得到平行線(xiàn)之間的距離．
（2）當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)與兩點(diǎn)連線(xiàn)垂直時(shí)，距離最大．

解答 解：（1）①若l₁，l₂的斜率都存在時(shí)，
設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，由斜截式得l₁的方程y=kx+1，即kx-y+1=0．
由點(diǎn)斜式可得l₂的方程y=k（x-5），即kx-y-5k=0．
在直線(xiàn)l₁上取點(diǎn)A（0，1），
則點(diǎn)A到直線(xiàn)l₂的距離d=$\frac{|1+5k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=5，
∴25k²+10k+1=25k²+25，
∴k=$\frac{12}{5}$．
∴l(xiāng)₁：12x-5y+5=0，l₂：12x-5y-60=0．
②若l₁、l₂的斜率不存在，
則l₁的方程為x=0，l₂的方程為x=5，它們之間的距離為5．同樣滿(mǎn)足條件．
（2）當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)與兩點(diǎn)連線(xiàn)垂直時(shí)，距離最大，此時(shí)斜率k=5，最大距離為$\sqrt{26}$，
l₁：5x-y+1=0，l₂：5x-y-25=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線(xiàn)之間的斜率關(guān)系及其距離、分類(lèi)討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．