Question

19．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x，a∈R．．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=-1時，證明f（x）≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（I）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
因為$f'（x）=\frac{a}{x}+x-（a+1）=\frac{{{x^2}-（a+1）x+a}}{x}=\frac{（x-1）（x-a）}{x}$．
又因為函數(shù)f（x）在（1，3）單調(diào)減，所以不等式（x-1）（x-a）≤0在（1，3）上成立．
設(shè)g（x）=（x-1）（x-a），則g（3）≤0，即9-3（a+1）+a≤0即可，解得a≥3．
所以a的取值范圍是[3，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）當a=-1時，f（x）=-lnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$，
f′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，
令f'（x）=0，得x=1或x=-1（舍）．
當x變化時，f（x），f'（x）變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以x=1時，函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=$\frac{1}{2}$，
所以$f（x）≥\frac{1}{2}$成立．…（13分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．