Question

11．設函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)，f（-1）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，$g（x）=\frac{f（x）}{x}（x≠0）$
（Ⅰ）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）證明函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；（Ⅱ）求出g（x）的導數(shù)，通過判斷導函數(shù)的符號，證明出函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅲ）x＞0時f（x）＞0等價于$\frac{f（x）}{x}＞0$，即g（x）＞g（1），x＜0時f（x）＞0等價于$\frac{f（x）}{x}＜0$，即g（x）＞g（-1），解出即可．

解答 解：（I）因為f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，
所以$g（-x）=\frac{f（-x）}{-x}=\frac{-f（x）}{-x}=g（x），x≠0$，
所以g（x）是偶函數(shù)                                          …（4分）
（II）因為當x＞0時xf'（x）-f（x）＜0，
所以$g'（x）=\frac{xf'（x）-f（x）}{x^2}＜0$，
所以g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)                              …（8分）
（III）由（I）f（-1）=0，g（-1）=g（1）=0，…（10分）
x＞0時f（x）＞0等價于$\frac{f（x）}{x}＞0$，即g（x）＞g（1），
由（II）所以0＜x＜1，…（12分）
x＜0時f（x）＞0等價于$\frac{f（x）}{x}＜0$，即g（x）＞g（-1），
由（I）（ II）g（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
所以x＜-1．…（14分）
綜上不等式f（x）＞0的解集為（-∞，-1）∪（0，1）…（16分）

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及解不等式問題，是一道中檔題．