Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)

（Ⅲ）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立．

Answer 1

【答案】（1）在定義域上單調(diào)遞增；

（II）時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；

時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；

時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)。

（III）證明見(jiàn)詳解.

【解析】

試題（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，先明確定義域（-1，+∞），再求導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)在定義域上符號(hào)變化情況，從而可得函數(shù)單調(diào)性（2）當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)=0解得兩個(gè)不同解，下面根據(jù)兩個(gè)根與-1的大小關(guān)系進(jìn)行討論：①當(dāng)b＜0時(shí)，只有大根在定義域內(nèi)，從而有唯一的極小值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，兩根都在定義域內(nèi)，因此列表分析可得有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)（3）利用函數(shù)證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)：，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，從而給予證明．

試題解析：（1）當(dāng)，

所以函數(shù)定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增

（2） 當(dāng)時(shí)，令=0解得兩個(gè)不同解

①當(dāng)b＜0時(shí)，

此時(shí)在（-1，x2）減，在（x2，+∞）增，∴上有唯一的極小值點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)， 在都大于0，在上小于0，

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)綜上可知，

時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)

（2）b＜0，時(shí)，在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)

（3）當(dāng)b=-1時(shí)，

令上恒正

∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有

即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有，

對(duì)任意正整數(shù)n，取