Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n+1²=b_nb_n+2（n∈N^*），a₁=b₁=1，a₂=b₂=2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分別由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{a_n}，{b_n}為等差數(shù)列和等比數(shù)列，由a₁=b₁=1，a₂=b₂=2求得公差和公比，代入等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=a_nb_n，然后由錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），即2a_n+1=a_n+2+a_n．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
則a_n=1+1×（n-1）=n．
∵b_n+1²=b_nb_n+2（n∈N^*），b₁=1，b₂=2，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
則bn=2n-1；
（2）cn=anbn=n•2n-1，則
Tn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1．
2Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n．
兩式相減得：-Tn=1•20+21+22+…+2n-1-n•2n．
整理得Tn=(n-1)•2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．