Question

某地政府鑒于某種日常食品價(jià)格增長(zhǎng)過(guò)快，欲將這種食品價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)這種食品生產(chǎn)廠家提供政府補(bǔ)貼，設(shè)這種食品的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)16≤x≤24時(shí)，這種食品市場(chǎng)日供應(yīng)量p萬(wàn)千克與市場(chǎng)日需量q萬(wàn)千克近似地滿足關(guān)系：p=2（x+4t-14），（x≥16，t≥0），q=24+8ln

20

x

，（16≤x≤24）．當(dāng)p=q市場(chǎng)價(jià)格稱(chēng)為市場(chǎng)平衡價(jià)格．
（1）將政府補(bǔ)貼表示為市場(chǎng)平衡價(jià)格的函數(shù)，并求出函數(shù)的值域；
（2）為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克20元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可求出函數(shù)的值域；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式解不等式即可．

解答： 解：（1）由P=Q得2（x+4t-14 ）=24+8ln

20

x

（16≤x≤24，t＞0）．t=

13

2

-

1

4

x+ln

20

x

（16≤x≤24）． 3分
∵t′=-

1

4

-

1

x

＜0，∴t是x的減函數(shù)．
∴t_min=

13

2

-

1

4

×24+ln

20

24

=

1

2

+ln

20

24

=

1

2

+ln

5

6

；5分
t_max=

13

2

-

1

4

×16+ln

20

16

=

5

2

+ln

5

4

，
∴值域?yàn)閇

1

2

+ln

5

6

，

5

2

+ln

5

4

]7
（2）由（1）t=

13

2

-

1

4

x+ln

20

x

（16≤x≤24）．
而x=20時(shí)，t=

13

2

-

1

4

×20+ln

20

20

=1.5（元/千克） 9分
∵t是x的減函數(shù)．欲使x≤20，必須t≥1.5（元/千克）
要使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克20元，政府補(bǔ)貼至少為1.5元/千克．  2分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，解決的關(guān)鍵是能利用導(dǎo)數(shù)的工具性作用來(lái)判定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的最值，屬于中檔題，易錯(cuò)點(diǎn)就是對(duì)于表達(dá)式的準(zhǔn)確表示．