Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，2a₁+3a₂+…+（n+1）a_n=

1

2

n²+

1

2

n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式a_n；
（2）令c_n=a_n+1+

1

an+1

，證明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用作差法即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式a_n；
（2）求出c_n=a_n+1+

1

an+1

的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵2a₁+3a₂+…+（n+1）a_n=

1

2

n²+

1

2

n（n∈N^*），
∴2a₁+3a₂+…+na_n-1=

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1），（n≥2），
則兩式相減，
（n+1）a_n=n，即a_n=

n

n+1

，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=

1

2

+

1

2

=1，則a₁=

1

2

，滿足a_n，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式a_n=

n

n+1

．
（2）c_n=a_n+1+

1

an+1

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，
則c₁+c₂+…+c_n=2n+（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=2n+

1

2

-

1

n+2

，
則不等式2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．