Question

10．已知△ABC的面積是S_△ABC，若角A、B、C所對(duì)的邊為a，b，c，且有c²+b²-a²=4S_△ABC．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=$\sqrt{2}$，D為BC邊上的點(diǎn)，且DC=$\sqrt{3}$BD，求線段AD的長(zhǎng)取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面積公式化簡(jiǎn)已知等式的左邊，利用余弦定理表示出cosA，變形后代入等式的右邊，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切整理后求出tanA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）由題意畫出圖形，可知三角形外接圓的半徑為1，求解三角形可得BD，DC的值，進(jìn)一步求得線段AD的長(zhǎng)取值范圍．

解答 解：（1）∵c²+b²-a²=4，S_△ABC=4×$\frac{1}{2}$bc•sinA=2bc•sinA，
cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，即b²+c²-a²=2bc•cosA
∴2bc•cosA=2bc•sinA  
∴tanA=1
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{4}$．
（2）如圖，△ABC的外接圓的半徑為1，由題意可得BC=$\sqrt{2}$，OB⊥OC，
可知當(dāng)D、O、A共線時(shí)，AD最大．
∵DC=$\sqrt{3}BD$，∴$（\sqrt{3}+1）BD=\sqrt{2}$，
∴$BD=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
$CD=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
在△COD中，∠OCD=45°，
OD=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}）^{2}-2×\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3}-1$．
∴BD＜AD≤$\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$．
即$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$＜AD$≤\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積公式，余弦定理以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，是中檔題．