Question

2．在△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC，則當(dāng)△ABC面積最大值時其周長為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$+2
• B． $\sqrt{3}$+3
• C． 2$\sqrt{3}$+4
• D． $\sqrt{3}$+4

Answer 1

分析 以AB中點為原點，AB垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C（x，y），推導(dǎo)出C在以D（-2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓上，當(dāng)△ABC面積取最大值時，C（-2，$\sqrt{3}$），由此能求出當(dāng)△ABC面積最大值時其周長的值．

解答 解：以AB中點為原點，AB垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
如圖，A（1，0），B（-1，0），
設(shè)C（x，y），∵AC=$\sqrt{3}$BC，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{3}•$$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
整理，得（x+2）²+y²=3，
∴C在以D（-2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓上，
∴當(dāng)△ABC面積取最大值時，
C到x軸即AB線段取最大距離為$\sqrt{3}$，
∴C（-2，$\sqrt{3}$），∴BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)△ABC面積最大值時其周長為：2+2+2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}+4$．
故選：C．

點評 本題考查當(dāng)△ABC面積最大值時其周長的求法，考查直角坐標(biāo)系、兩點間距離公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．