Question

已知a為常數(shù)，a∈R，函數(shù)f（x）=（x-1）lnx，g（x）=-

1

3

x³+

2-a

2

x²+（a-1）x．
（1）求函數(shù)f（x）的最值；
（2）若a＞0，函數(shù)g′（x）為函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，g′（x）≤k（a³+a）恒成立，求k的取值范圍；
（3）當(dāng)a≤時，求證：h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1]上的單調(diào)遞減．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，令f′（1）=0，f′（x）＜0，f′（x）＞0，解決
（2），分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，用最值解決．
（3）運用兩次求導(dǎo)，最值，判斷單調(diào)性，弄清導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系

解答： 解：（1）由題意可知f（x）的定定義域為{x|x＞0}，f′（x）=1-

1

x

+lnx，且f′（1）=0
當(dāng)0＜x＜1，時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0
所以f（x）在x=1處取的極小值，且為函數(shù)的最小值，函數(shù)無最大值．
所以f（x）_min=f（1）=0
（2）依題意g′（x）=-x²+（2-a）x+a-1，在對稱軸x=1-

a

2

處
取得最大值g′（x）_max=

a2

4

，要使不等式g′（x）≤k（a³+a）恒成立，只須

a2

4

）≤k（a³+a）恒成立，
由a＞0，k≥

a2

4(a3+a)

=

1

4(a+ 1 a )

，又

1

4(a+ 1 a )

≤

1

8

，
∴k≥

1

8

（3）h（x）=f（x）+g（x）=（x-1）lnx-

1

3

x³+

2-a

2

x²+（a-!）x，
h′（x）=-x²+(2-a)x+a-

1

x

+lnx，
設(shè)m（x）=-x²+(2-a)x+a-

1

x

+lnx，m′（x）=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a，
易知m′（x）在（0，1】減函數(shù)，m（x）≥m（1）=2-a，
當(dāng)a≤2時，m′（x）≥0，m（x）在（0，1】增函數(shù)．
∵，m（1）=0，∴m（x）≤0在（0，1】上恒成立，h′（x）≤0在（0，1】上恒成立．
h（x）在區(qū)間（0，1]上的單調(diào)遞減．

點評：考查了導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用，判斷單調(diào)性，極值．可以解決復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，這時候可以利用再次求導(dǎo)判斷，考慮最值問題幫助