Question

設(shè)f（x）=2cosx•（cosx-

3

sinx）．
（1）若函數(shù)g（x）=f（x-

π

6

），求函數(shù)g（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，則g（x）的解析式可得，利用周期公式求得函數(shù)g（x）的最小正周期．
（2）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x-2

3

sinxcosx=1+cos2x-

3

sin2x=2cos（2x+

π

3

）+1，
∴g（x）=2cos2x+1，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
（2）∵f（x）=2cos（2x+

π

3

）+1，由2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ，得kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

，k∈Z
∴函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]（k∈Z）．

點評：本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題的過程中注意與正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象結(jié)合．