Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=a x²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在實(shí)數(shù) x₀，使f（ x₀）=x₀成立，則稱(chēng) x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)
（1）當(dāng)a=2，b=-2時(shí)，求f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若對(duì)于任何實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下判斷直線(xiàn)L：y=ax+1與圓（x-2）²+（y+2）²=4 a²+4的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2，b=-2時(shí)，f（x）=2x²-x-4，設(shè)x為其不動(dòng)點(diǎn)，即2x²-x-4=x解之即可求出所求；
（2）由f（x）=x得a x²+bx+b-2=0，關(guān)于x的方程有相異實(shí)根，則 b²-4a（b-2）＞0，對(duì)所有的b∈R，b²-4ab+8a＞0恒成立，根據(jù)判別式即可求出a的范圍；
（3）由圓的方程得圓心M（2，-2），求出半徑和M到直線(xiàn)y=ax+1的距離d，比較d與r的大小，討論a的范圍可得直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．

解答：解：（1）f（x）=a x²+（b+1）x+b-2（a≠0），
當(dāng)a=2，b=-2時(shí)，f（x）=2 x²-x-4，
設(shè)x為其不動(dòng)點(diǎn)，即2 x²-x-4=x
則2 x²-2x-4=0，解得 x₁=-1，x₂=2
即f（x）的不動(dòng)點(diǎn)為-1，2…..（4分）
（2）由f（x）=x得a x²+bx+b-2=0
關(guān)于x的方程有相異實(shí)根，則 b²-4a（b-2）＞0，即 b²-4ab+8a＞0
又對(duì)所有的b∈R，b²-4ab+8a＞0恒成立
故有（4a）²-4•8a＜0，得0＜a＜2…．（10分）
（3）由圓的方程得圓心M（2，-2），半徑r=2

a2+1

M到直線(xiàn)y=ax+1的距離d=

|2a+3|

1+a2

比較d與r的大小：r-d=2

a2+1

-

2a+3

a2+1

=

2a2-2a-1

a2+1

=

2(a- 1 2 )2- 3 2

a2+1

…..（9分）
當(dāng)a∈(0，

1+ 3

2

)時(shí)，r＜d，直線(xiàn)與圓相離；
當(dāng)a=

1+ 3

2

時(shí)，r=d，直線(xiàn)與圓相切；
當(dāng)a∈(

1+ 3

2

，2)時(shí)，r＞d，直線(xiàn)與圓相交（16分）．

點(diǎn)評(píng)：本題互異考查了新定義，以及恒成立問(wèn)題和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定，屬于中檔題．