Question

1．若兩點(diǎn)A（0，a）、B（0，b）（a＞b＞0），點(diǎn)P在x軸正半軸上運(yùn)動，試求當(dāng)∠APB取得最大值時P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)P（x，0），x＞0．則tan∠APO=$\frac{a}{x}$，tan∠BPO=$\frac{x}$．tan∠APB=tan（∠APO-∠BPO），展開利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)P（x，0），x＞0．
則tan∠APO=$\frac{a}{x}$，tan∠BPO=$\frac{x}$．
∴tan∠APB=tan（∠APO-∠BPO）=$\frac{\frac{a}{x}-\frac{x}}{1+\frac{a}{x}•\frac{x}}$=$\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}$≤$\frac{a-b}{2\sqrt{x•\frac{ab}{x}}}$=$\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{ab}$時取等號．
此時P$（\sqrt{ab}，0）$，∠APB取得最大值arctan$\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}$．

點(diǎn)評 本題考查了和差公式、基本不等式的性質(zhì)、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．