Question

已知函數(shù)f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0．
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)圖象寫出不等式f（x）＞0的解集；
（3）求當(dāng)x∈[1，5]時函數(shù)的值域．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)的值域,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由f（4）=0，求得m=4，函數(shù)f（x）=

x(x-4)，x≥4 x(4-x)，x＜4

，由此它的圖象如圖所示：結(jié)合它的圖象可得減區(qū)間和增區(qū)間．
（2）根據(jù)圖象寫出不等式f（x）＞0的解集．
（3）當(dāng)x∈[1，5]時，結(jié)合函數(shù)的圖象求得函數(shù)的值域

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0，可得4|m-4|=0，
∴m=4，函數(shù)f（x）=x|4-x|=

x(x-4)，x≥4 x(4-x)，x＜4

，
它的圖象如圖所示：
結(jié)合它的圖象可得減區(qū)間為[2，4]，增區(qū)間為（-∞，2）、（4，+∞）．
（2）根據(jù)圖象寫出不等式f（x）＞0的解集為（0，4）∪（4，+∞）．
（3）當(dāng)x∈[1，5]時，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，當(dāng)x=2時，函數(shù)取得最大值為4，
當(dāng)x=4時，函數(shù)取得最小值為0，故函數(shù)的值域為[0，4]．

點評：本題主要考查對由絕對值的函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．