Question

已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線l于點(diǎn)A，又過(guò)B、C作⊙O′異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)過(guò)B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P．由切線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)過(guò)B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P．
由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，
故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，
故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓
以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

81

+

y2

72

=1（y≠0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．