Question

11．如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形．
（1）證明：AB⊥PC；
（2）若AB=2PC=$\sqrt{2}$，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AB⊥平面PCG，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明AB⊥PC．
（2）根據(jù)三棱錐的體積公式先求出底面積和高，進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)PG，CG．
∵△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形，
∴PG⊥AB，CG⊥AB，
∵PG∩CG=G，且PG?平面PCG，CG?平面PCG，
∴AB⊥平面PCG，
又∵PC?平面PCG，
∴AB⊥PC…（6分）
解：（2）在等腰直角三角形PAB中，AB=$\sqrt{2}$，G是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴PG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，同理CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴△PCG是等邊三角形，
∴S_△PCG=$\frac{1}{2}$PC•CGsin60°=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∵AB⊥平面PCG，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△PCG•AB=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{8}×$$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{24}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用以及三棱錐體積的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的性質(zhì)定理以及三棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．