Question

10．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，焦距為12$\sqrt{2}$．
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）一雙曲線以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{2a=3•2b}\\{2c=12\sqrt{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，即可得出．
（2）由（1）可得：橢圓的焦點(diǎn)$（±6\sqrt{2}，0）$，頂點(diǎn)（±9，0），設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1，（a₁，b₁＞0）．c₁為半焦距．由題意即可得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，焦距為12$\sqrt{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=3•2b}\\{2c=12\sqrt{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得c=6$\sqrt{2}$，b²=9，a²=81．
∴$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）由（1）可得：橢圓的焦點(diǎn)$（±6\sqrt{2}，0）$，頂點(diǎn)（±9，0），
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1，（a₁，b₁＞0）．c₁為半焦距．
∴a₁=6$\sqrt{2}$，c₁=9．
∴$_{1}^{2}$=${9}^{2}-（6\sqrt{2}）^{2}$=9．
∴此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{72}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．