Question

15．已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足2a²-5lna-b=0，c∈R，則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 x代換a，y代換b，則x，y滿(mǎn)足：2x²-5lnx-y=0，即y=2x²-5lnx（x＞0），以x代換c，可得點(diǎn)（x，-x），滿(mǎn)足y+x=0．因此求$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值即為求曲線(xiàn)y=2x²-5lnx上的點(diǎn)到直線(xiàn)y+x=0的距離的最小值．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線(xiàn)與直線(xiàn)y+x=0平行的切線(xiàn)性質(zhì)即可得出．

解答 解：x代換a，y代換b，則x，y滿(mǎn)足：2x²-5lnx-y=0，即y=2x²-5lnx（x＞0），
以x代換c，可得點(diǎn)（x，-x），滿(mǎn)足y+x=0．
因此求$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值即為求曲線(xiàn)y=2x²-5lnx上的點(diǎn)到直線(xiàn)y+x=0的距離的最小值．
設(shè)直線(xiàn)y+x+m=0與曲線(xiàn)y=2x²-5lnx=f（x）相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），
f′（x）=4x-$\frac{5}{x}$，則f′（x₀）=$4{x}_{0}-\frac{5}{{x}_{0}}$=-1，解得x₀=1，∴切點(diǎn)為P（1，2）．
∴點(diǎn)P到直線(xiàn)y+x=0的距離d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．