【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為.
(1)求橢圓的方程式;
(2)已知?jiǎng)又本與橢圓相交于兩點(diǎn).
①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;
②已知點(diǎn),求證:為定值.
【答案】(1)+=1
(2)①±②見(jiàn)解析
【解析】
(1)+=1(a>b>0)滿(mǎn)足a2=b2+c2,又=,×b×2c=,
解得a2=5,b2=,則橢圓方程為+=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
①將y=k(x+1)代入+=1,
得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,
∴Δ=48k2+20>0,x1+x2=-,
∵AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,
∴-=-1,解得k=±.
②由(1)知x1+x2=-,x1x2=,
∴·=(x1+,y1)·(x2+,y2)
=(x1+)(x2+)+y1y2
=(x1+)(x2+)+k2(x1+1)(x2+1)
=(1+k2)x1x2+(+k2)(x1+x2)++k2
=(1+k2)+(+k2)(-)++k2
=++k2=(定值).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,平面平面,,.設(shè)分別為中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)試問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn),使得過(guò)三點(diǎn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行?
若存在,指出點(diǎn)的位置并證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)事件A表示“關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根”,其中,為實(shí)常數(shù).
(Ⅰ)若為區(qū)間[0,5]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù),為區(qū)間[0,2]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù),求事件A發(fā)生的概率;
(Ⅱ)若為區(qū)間[0,5]上的均勻隨機(jī)數(shù),為區(qū)間[0,2]上的均勻隨機(jī)數(shù),求事件A發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù),其中.
(1)如果函數(shù)與在處的切線均為,求切線的方程及的值;
(2)如果曲線與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2015年10月十八屆五中全會(huì)決定2016年1月1日起全國(guó)統(tǒng)一實(shí)施全面兩孩政策,為了了解適齡民眾對(duì)放開(kāi)生育二胎政策的態(tài)度,某市進(jìn)行了一次民意調(diào)查,參與調(diào)查的100位市民中,年齡分布情況如下圖所示,并得到適齡民眾對(duì)放開(kāi)生育二胎政策的態(tài)度數(shù)據(jù)如下表:
生二胎 | 不生二胎 | 合計(jì) | |
25~35歲 | 10 | ||
35~50歲 | 30 | ||
合計(jì) | 100 |
(1)填寫(xiě)上面的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù),有多少的把握認(rèn)為“生二胎與年齡有關(guān)”,說(shuō)明理由;
(3)調(diào)查對(duì)象中決定生二胎的民眾有六人分別來(lái)自三個(gè)不同的家庭且為父子,各自家庭都有一個(gè)約定:父親先生二胎,然后兒子生二胎,則這三個(gè)家庭“二胎出生的日期的先后順序”有多少種?
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】劉老師是一位經(jīng)驗(yàn)豐富的高三理科班班主任,經(jīng)長(zhǎng)期研究,他發(fā)現(xiàn)高中理科班的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(總分150分)與理綜成績(jī)(物理、化學(xué)與生物的綜合,總分300分)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性,以下是劉老師隨機(jī)選取的八名學(xué)生在高考中的數(shù)學(xué)得分x與理綜得分y(如下表):
學(xué)生編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x | 52 | 64 | 87 | 96 | 105 | 123 | 132 | 141 |
理綜分?jǐn)?shù)y | 112 | 132 | 177 | 190 | 218 | 239 | 257 | 275 |
參考數(shù)據(jù)及公式: .
(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)若小汪高考數(shù)學(xué)110分,請(qǐng)你預(yù)測(cè)他理綜得分約為多少分?(精確到整數(shù)位);
(3)小金同學(xué)的文科一般,語(yǔ)文與英語(yǔ)一起能穩(wěn)定在215分左右.如果他的目標(biāo)是在
高考總分沖擊600分,請(qǐng)你幫他估算他的數(shù)學(xué)與理綜大約分別至少需要拿到多少分?(精確到整數(shù)位).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一次函數(shù).
(1)設(shè)集合和,分別從集合和中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為和,求函數(shù)是增函數(shù)的概率;
(2)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件,求函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年天貓五一活動(dòng)結(jié)束后,某地區(qū)研究人員為了研究該地區(qū)在五一活動(dòng)中消費(fèi)超過(guò)3000元的人群的年齡狀況,隨機(jī)在當(dāng)?shù)叵M(fèi)超過(guò)3000元的群眾中抽取了500人作調(diào)查,所得概率分布直方圖如圖所示:記年齡在, , 對(duì)應(yīng)的小矩形的面積分別是,且.
(1)以頻率作為概率,若該地區(qū)五一消費(fèi)超過(guò)3000元的有30000人,試估計(jì)該地區(qū)在五一活動(dòng)中消費(fèi)超過(guò)3000元且年齡在的人數(shù);
(2)若按照分層抽樣,從年齡在的人群中共抽取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人作深入調(diào)查,求至少有1人的年齡在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某單位員工的月工資水平,從該單位500位員工中隨機(jī)抽取了50位進(jìn)行調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:
月工資 (單位:百元) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
男員工數(shù) | 1 | 8 | 10 | 6 | 4 | 4 |
女員工數(shù) | 4 | 2 | 5 | 4 | 1 | 1 |
(1) 試由上圖估計(jì)該單位員工月平均工資;
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從月工資在和的兩組所調(diào)查的男員工中隨機(jī)選取5人,問(wèn)各應(yīng)抽取多少人?
(3)若從月工資在和兩組所調(diào)查的女員工中隨機(jī)選取2人,試求這2人月工資差不超過(guò)1000元的概率.
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