Question

已知函數(shù)，其中n∈N^*，a為常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)n=1時，函數(shù)f（x）在x=3取得極值，求a值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時，有f（x）≤x-1．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞1}，
當(dāng)n=1時，，所以f′（x）=．
∵函數(shù)f（x）在x=3取得極值，
∴f′（3）=0
∴1-a+3a=0
∴
∴
∴函數(shù)在（1，3）上，f′（x）＜0；在（3，+∞）上，f′（x）＞0
∴時，函數(shù)f（x）在x=3取得極值
（Ⅱ）證明：當(dāng)a=1時，
當(dāng)x≥2時，對任意的正整數(shù)n，恒有，
故只需證明1+ln（x-1）≤x-1．
令h（x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），
則，
當(dāng)x≥2時，h'（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
因此當(dāng)x≥2時，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立．
故當(dāng)x≥2時，有．
即f（x）≤x-1．
分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=3取得極值，可得f′（3）=0，從而可得a值，再驗證導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號改變即可；
（2）欲證：“f（x）≤x-1”，當(dāng)x≥2時，對任意的正整數(shù)n，恒有，故只需證明1+ln（x-1）≤x-1．
令h（x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），利用導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)的單調(diào)性，從而有x≥2時，h（x）≥h（2）=0，故問題得證．
點評：本題重點考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明不等式，解題的關(guān)鍵是將證明對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時，有f（x）≤x-1轉(zhuǎn)化為證明1+ln（x-1）≤x-1，有一定的難度．