Question

5．已知函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，判斷并證明函數(shù)f（x）的增減性．

Answer 1

分析 據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，列出不等式求出定義域；求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)大于0函數(shù)得到遞增．

解答 解：（1）由題意知，a^x-1＞0，
所以當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的定義域是（0，+∞），0＜a＜1時(shí)，f（x）的定義域是（-∞，0）；
（2）f′（x）=$\frac{{a}^{x}lna}{{a}^{x}-1}$•log_ae=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}-1}$，
當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（0，+∞），因?yàn)閍^x-1＞0，a^x＞0，故f′（x）＞0，所以f（x）是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)討論函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的定義域，在含參數(shù)的函數(shù)中需要分類討論．