Question

8．若函數(shù)f（x）=21n（x+1）-1nax在其定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（　�。�

• A． |4|
• B． （-∞，4]
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，0）∪{4}

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得（x+1）²=ax在（-1，+∞）上有且只有一個(gè)解，從而討論解得即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=21n（x+1）-1nax在其定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴21n（x+1）=1nax有且只有一個(gè)解，
∴（x+1）²=ax在（-1，+∞）上有且只有一個(gè)解，
∵$\frac{1}{a}$=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=-（$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴a＜0或a≥4，
①當(dāng)a＜0時(shí)，作函數(shù)y=21n（x+1）與y=1nax的圖象如下，

②當(dāng)a=4時(shí)，（x+1）²=4x的解為x=1（成立），
③當(dāng)a＞4時(shí)，（x+1）²=ax可化為
x²-（a-2）x+1=0，
△=（a-2）²-4＞0，
且a-2＞0，1＞0，
故（x+1）²=ax有兩個(gè)不同的正根；
故實(shí)數(shù)a的取值集合為（-∞，0）∪{4}，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用及分類討論的應(yīng)用．