Question

14．如圖，已知等腰梯形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AB∥CD，PA=AB=2CD=2，PA⊥平面ABCD，已知E為PA的中點(diǎn)，連接DE．
（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）求二面角D-BC-P的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)DO，EO，推導(dǎo)出AB∥CD，四邊形BCDO為平行四邊形，從而DO∥BC，進(jìn)而平面DEO∥平面PBC，由此能證明DE∥平面PBC．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，過(guò)D作平面ABCD的垂線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-BC-P的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)DO，EO，
∵等腰梯形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AB∥CD，PA=AB=2CD=2，
E為PA的中點(diǎn)，連接DE．
∴OE∥PB，DC$\underset{∥}{=}$OB，∴四邊形BCDO為平行四邊形，∴DO∥BC，
∵EO∩DO=O，PB∩BC=B，EO、DO?平面DEO，
PB、BC?平面PBC，
∴平面DEO∥平面PBC，
∵DE?平面DEO，∴DE∥平面PBC．
解：（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，過(guò)D作平面ABCD的垂線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（1，0，2），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{PB}$=（-1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-2），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，3），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角D-BC-P的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{21}}{7}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角D-BC-P的正弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．